общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Точная формулировка и условия применимости Б. ч. з. даются в теории вероятностей. Б. ч. з. является одним из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713, см. Бернулли теорема). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин "закон больших чисел". Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867). В этом современном понимании Б. ч. з. утверждает, что при некоторых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое

достаточно большого числа n случайных величин X_k с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания (См. Математическое ожидание)

Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства Б. ч. з., основанный на применении т. н. Чебышева неравенства (См. Чебышева неравенство).

Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математическое ожидание а, Б. ч. з. утверждает, что при любом ε > 0 вероятность неравенства |х - а| < ε стремится к единице при n →∞. Порядок отклонений x̅ от а указывается предельными теоремами (См. Предельные теоремы) теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок

Соответственно, случайные отклонения суммы

от её математического ожидания na растут как

Этот факт (называемый в упрощённых популярных изложениях "законом корня квадратного из n") даёт некоторое, хотя и грубое, представление о характере действия Б. ч. з.

Наглядное объяснение смысла и значения Б. ч. з. даёт следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено N молекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку σ стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс f_k (см. Ударный импульс). Импульс f_k является типичной случайной величиной, т.к. состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание а = E (f_k) этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля - в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку σ). Сумма

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке σ за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно - почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку σ является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять Б. ч. з. и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от её математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить n_к число дефектных изделий в k-й партии, то общее число дефектных изделий равно

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытаний из k-й партии, равно S_k = (¹⁰/₁₀₀) n_k, а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

В силу Б. ч. з. естественно считать, что ⁿ/₁₀ Больших чисел закон 125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 < n < 1500, но уже оценка 1100 < n < 1400 не была бы достаточно надёжной, а для оценки 1200 < n < 1300 совсем не имеется серьёзных оснований. Получить более точную оценку для n можно, лишь испытав большее число изделий.

Условие независимости слагаемых в большинстве применений Б. ч. з. если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости Б. ч. з. к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б. ч. з. применим, если между слагаемыми с далёкими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха.

Математическая сторона вопросов, связанных с Б. ч. з., освещена также в ст. Предельные теоремы теории вероятностей и Вероятностей теория. В применениях Б. ч. з. необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

Лит.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.- Часть 4 соч. Я. Бернулли..., СПБ, 1913); Poisson S.-D., Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités, P., 1837; Чебышев П. Л., О средних величинах, Полн. собр. соч., т. 2, М.-Л., 1947, с. 431-37; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.

Л. Н. Колмогоров.

в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов. В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (например, средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, которые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны - поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления. Б. ч. з. не имеет отношения ко второй группе факторов (причин), следовательно, к сущности массового явления. Он не создаёт ни самих, проявляющихся в среднем, закономерностей, ни их общей средней меры для массы единиц явления (например, уровня стоимости или производительности труда, средней нормы прибыли, вероятности заболевания и т.д.); следовательно, Б. ч. з. не в состоянии ни изменить средний уровень явления, ни вызвать устойчивость динамического ряда уровней, ни предопределить размеры отклонений от среднего уровня, ни, тем более, служить объяснению реальных причин возникновения самого уровня или отклонений от него. Отсюда ясна полная несостоятельность антинаучных попыток некоторых буржуазных учёных приписать Б. ч. з. чудодейственную, почти мистическую способность творить закономерность из хаоса любых случайностей, даже если в них внутренняя необходимость, внутренняя закономерность и не заложена, - лишь бы было "большое число" единиц, которое якобы само по себе, независимо от сущности массового явления, приводит к возникновению закономерности в нём. Б. ч. з. не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании Б. ч. з. уже основывались в своих демографических и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле. В 19 в. толкование экономических явлений, как массовых с сопутствующим действием Б. ч. з., приобретает всё большее распространение. В трудах К. Маркса, особенно в "Капитале", все категории экономической действительности и экономической науки выступают как средние величины (среднее общественно необходимое рабочее время, простой средний труд, средний в данном обществе уровень умелости и интенсивности труда, средняя скорость обращения денег, средняя норма прибыли и т.д.). Равным образом лишь как средние уровни, лишь в среднем могут проявляться, по концепции Маркса, любые экономические законы и закономерности (при капитализме действующие "слепо", стихийно). Вместе с тем Маркс и Энгельс неоднократно писали о специфической форме проявления экономических законов и закономерностей: "Совокупное движение этого беспорядка есть его порядок" (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 6, с. 438; речь идёт о движении цен); "...Общие законы осуществляются,... лишь как господствующая тенденция, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний" (Маркс К., там же, т. 25, ч. 1, с. 176); "...внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах, и... он остается поэтому невидимым и непонятным для самих отдельных агентов производства" (там же, т. 25, ч. 2, с. 396); об "экономических законах вообще" Энгельс писал: "...все они не имеют иной реальности, кроме как в приближении, в тенденции, в среднем, но не в непосредственной действительности" (там же, т. 39, с. 355). Отклонения множества цен от стоимости Маркс трактует как форму проявления закона стоимости: "...возможность отклонения цены от величины стоимости заключена уже в самой форме цены. И это не является недостатком этой формы, - наоборот, именно эта отличительная черта делает ее адэкватной формой такого способа производства, при котором правило может прокладывать себе путь сквозь беспорядочный хаос только как слепо действующий закон средних чисел" (там же, т. 23, с. 112). Позднее В. И. Ленин писал о том же в несколько иных выражениях: "...вполне естественно, что в обществе разрозненных товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может проявляться иначе как в средней, общественной, массовой закономерности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту или другую сторону" (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 26, с. 68). Не возникает сомнений, что и Маркс, и Ленин говорят здесь о Б. ч. з., однако Маркс называет его иным термином: Durchschnittsgesetz, т. е. "законом осреднения", "осредняющим законом", "законом средних чисел"; причину этого надо видеть в том, что факт проявления любого закона в виде средней величины Маркс считал существеннее факта его проявления лишь на большом числе случаев. Отсюда - установившееся в современной статистической науке отождествление понятий и терминов "Б. ч. з." и "закон средних чисел", часто "закон больших (средних) чисел".

Необходимо строго различать взаимопогашение случайных отклонений отдельных единиц от среднего уровня всего массового явления при действии Б. ч. з. и чисто алгебраическое уравновешивание суммы положительных и суммы отрицательных отклонений при вычислении любой арифметической средней. Эти последние уравновешиваются в силу самого правила вычисления средней и притом полностью, как в случае типической средней для однородной совокупности (когда индивидуальные отклонения действительно случайны), так и при чисто фиктивной, "огульной" средней для явно разнородной совокупности (когда в индивидуальных отклонениях переплетены и существенные и случайные элементы), и притом при любом числе индивидуальных значений, объединяемых арифметической средней. Действие же Б. ч. з. состоит во взаимопогашении случайных отклонений от уровня, соответствующего закономерности массового явления и лишь приближённо отражаемого средней величиной, а потому такое взаимопогашение не может быть полным, и оно зависит от численности входящих в массу единичных явлений.

Значение факта действия Б. ч. з. велико для любой современной науки, в частности и в особенности - для научной разработки теории статистики и методов статистического познания. Действие Б. ч. з. имеет всеобщее значение для самих объектов статистического изучения - статистических совокупностей с их сводными признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании действия Б. ч. з. при случайном отборе единиц массовой совокупности для образования выборки основан важный статистический метод выборочного наблюдения.

Лит.: Слуцкий Е. Е., К вопросу о законе больших чисел, "Вестник статистики", 1925, кн. 22, № 7-9; Ястремский Б. С., Труды по статистике..., М., 1937, с. 311-348, 459-498; Лившиц Ф. Д., Закон больших (средних) чисел в общественных явлениях, "Уч. зап. по статистике АН СССР", 1955, т. 1, с. 166-92; его же, К вопросу об оценке работ А. А. Чупрова и С. Пуассона, "Вестник статистики", 1958, № 4; Пасхавер И. С,, Закон больших чисел и закономерности массового процесса, М., 1966; Вопросы статистической методологии и статистико-экономического анализа. Материалы межвузовской научной конференции, М., 1966, с. 63-102; Малый И. Г., Вопросы статистики в "Капитале" Карла Маркса, М., 1967, гл. III (в главе также приведены многие высказывания К. Маркса, Ф. Энгельса и В. И. Ленина о средних величинах и Б. ч. з.).

Ф. Д. Лившиц.

одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел (см. Больших чисел закон). Б. т. была впервые опубликована в труде Я. Бернулли "Искусство предположений", изданном в 1713. Первые доказательства Б. т. требовали сложных математических средств, лишь в середине 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка Б. т. такова: если при каждом из n независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота m/n появления события удовлетворяет неравенству |m/n - p| < ε (ε - произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе n испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

В. И. Битюцков.

1. Выражает удивление, восхищение, испуг, и другие чувства. +.

2. Усиливает слово, к которому примыкает одно или вместе с местоименными словами "как", "какой".

3. (разг.) аханье, восклицания, выражающие удивление, сожаление.

Нарцисс (29.10.1871, Эрмерс-хаузен, - 25.7.1946, Мюнхен), немецкий психолог, представитель вюрцбургской школы (См. Вюрцбургская школа). Профессор в Берлине, Кенигсберге, Гёттингене. В противовес распространённым в то время взглядам на процессы мышления как на управляемые законами Ассоциации, А. выдвинул идею "детерминирующих тенденций", согласно которой мышление определяется установкой (См. Установка), порождаемой задачей, которую решает человек. Эта идея способствовала развитию исследований мышления как процесса решения задач и оказала влияние на разработку Д. Н. Узнадзе теории установки. А. создал методику экспериментального образования понятий: испытуемым задавалась некоторая совокупность характеристик (размер, форма, цвет и т. п.), каждая из которых обозначалась не имеющим смысла слогом, и изучалось, как эти обозначения начинают выступать в функции понятий. Позднее эта методика была усовершенствована Л. С. Выготским (См. Выготский).

Соч.: Über die Willenstatigkeit und das Denken, Gött., 1905; Über die Begriffsbildung, Bamberg, 1921; Über die Determinati-onspsychologie, L., 1933; Analyse des Willens, B., 1935.

Лит.: Крогиус А. А., Вюрцбургская школа экспериментального исследования мышления и ее значение, в сборнике: Новые идеи в философии, сб. 16, СПБ, 1914; Ярошевский М. Г., История психологии, М., 1966, гл. 12.

Н. Г. Алексеев.

межд. изумления, удивления; радости, надежды; внезапности, испуга; горя, отчаяния. Ах, как хорошо! Ах кабы так! Ах, как ты меня испугал! Ах, да руками мах. Ах, ах, а пособить нечем. Ах, судья, судья: четыре полы, восемь карманов.

| Иногда ах обращается в сущ., муж. Ахи, да охи, да бабьи вздохи. Что тут было ахов, удивления, радости. Ахти, ахти мне, восклицание горя, печали; увы; Ахти мне, все товарищи в тюрьме - что-то будет и мне. Охти-axmul как-то замуж идти. Не ахти мне, не на диво, не больно хорошо. Аханьки мне, ахаханьки, выражает как бы сострадание к самому себе, либо к другому. Аханьки, как детки махоньки, это род привета. Ахать, ахивать, ахнуть, дивиться; радоваться чему, горевать, стонать, восклицать ах! Ахал бы, да дома, по себе. Ахал бы дядя, на себя глядя, заботься всяк о себе, о своем деле. Я так и ахнул, испугался, изумился. Ахивали и мы, видывали горе. Холостой подчас охнет, а женатый ахнет. Доахаться до чего. Заахали мы, узнав об этом. Наахали, да и пошли. Наахался я на чудеса эти. Отахали, что ли. Поахайте еще. Одна ахает, другая подахивает. Почто разахался. Взахаешься поневоле. Не так ахаешь, переахай снова, насмешка над бесполезными взывами. Весь денечек проахала. Пришла баба поахать, а пришлось охнуть; пришла поглядеть на чужую радость или горе, а приключилась своя беда. Аханье ср. неумеренное изъявление радости, изумления, горя, отчаянья: ахальщик муж. ахальщица жен. ахала ·об. кто всему дивится, выхваляет чужое не в меру, завидует. На каждого баяльщика по семи ахальщиков. На каждого бахаря по семи ахаль. Аховой ·*ниж. ахтительный ·*пенз. восхитительный, неимоверно прекрасный, красивый, вызывающий восклицание изумления и одобрения. Аховой платочек. Ахва. жен., ·*арх.-он. дыра, прореха; пробоина, прорез в шкуре, порча ее от неосторожного выстрела, укола или удара чем. Аховня. жен. испорченная ахвою шкура, аховая или ахводная шкура. Ахвить, ахводить?, испортить шкуру выстрелом, уколом, порубом. Аховая суббота, при платежах, когда неисправные ахают по деньгам.